Inversion et division - Corrigé

Énoncé

On pose  $z_1=1-4i$ et $z_2=3+i$ .
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes  ${\displaystyle \frac{1}{z_1}}$ et ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ .

Solution

• On a :
  $\begin{array}{r}\frac{1}{z_1}=\frac{1}{1-4i}=\frac{1}{1-4i}\times \frac{1+4i}{1+4i}=\frac{1+4i}{1^2+4^2}=\frac{1+4i}{1+16}=\frac{1+4i}{17}.\end{array}$
•  On a : $\begin{array}{r}\frac{z_1}{z_2}=\frac{1-2i}{3+i}=\frac{1-2i}{3+i}\times \frac{3-i}{3-i}=\frac{(1-2i)(3-i)}{3^2+1^2}=\frac{3-i-6i-2}{9+1}=\frac{1-7i}{10}.\end{array}$